test: 通过了正交基函数的生成和归一化以及正交性验证

docs/内积与基函数正交归一化的定义.md

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+### 1. 正交归一化条件
+
+首先给出了一组基函数 \(\phi_m(s)\)，要求它们满足正交归一化条件：
+
+\[
+\langle \phi_m(s), \phi_n(s) \rangle = \delta_{mn} \tag{27}
+\]
+
+其中 \(\delta_{mn}\) 是克罗内克δ，表示当 \(m = n\) 时为1，否则为0。
+
+---
+
+### 2. 内积定义
+
+内积被定义为：
+
+\[
+\langle \phi_m(s), \phi_n(s) \rangle = \frac{1}{2\pi i} \int_{i\mathbb{R}} \phi_m(s) \phi_n^*(s) ds \tag{28}
+\]
+
+这里积分是在虚轴上，\(\phi_n^*(s)\) 表示复共轭。
+
+---
+
+### 3. 构造第一个基函数 \(\phi_1(s)\)
+
+首先考虑第一个基函数的归一化：
+
+\[
+\langle \phi_1(s), \phi_1(s) \rangle 
+= \frac{1}{2\pi i} \int_{i\mathbb{R}} \left| \gamma_1 \right|^2 \frac{1}{(s+a_1)(-s+a_1^*)} ds \tag{29, 30}
+\]
+
+经过计算，归一化条件变为：
+
+\[
+= \frac{|\gamma_1|^2}{a_1 + a_1^*} \tag{31}
+\]
+
+要使其归一化，设 \(Q_1(s) = \gamma_1\)，则 \(\gamma_1\) 必须满足：
+
+\[
+\gamma_1 = \kappa_1 \sqrt{2 \Re(a_1)}
+\]
+
+其中 \(\kappa_1\) 是任意单位模复数（即模为1的复数），最后得到：
+
+\[
+\phi_1(s) = \kappa_1 \sqrt{2\Re(a_1)} \frac{1}{s + a_1} \tag{32}
+\]
+
+---
+
+### 4. 构造第二个基函数 \(\phi_2(s)\)
+
+第二个基函数需要与第一个正交：
+
+\[
+\langle \phi_1(s), \phi_2(s) \rangle = \frac{1}{2\pi i} \int_{i\mathbb{R}} \phi_1(s) \phi_2^*(s) ds = 0 \tag{33}
+\]
+
+推导得 \(\phi_2^*(s)\) 在 \(s = -a_1\) 时为零，因此：
+
+\[
+Q_2(s) = \gamma_2 (s - a_1^*)
+\]
+
+---
+
+### 5. 第二个函数的归一化
+
+通过归一化条件确定 \(\gamma_2\)：
+
+\[
+\langle \phi_2(s), \phi_2(s) \rangle = \frac{1}{2\pi i} \int_{i\mathbb{R}} \frac{|\gamma_2|^2}{(s + a_2)(-s + a_2^*)} ds = \frac{|\gamma_2|^2}{a_2 + a_2^*} \tag{34, 35}
+\]
+
+---
+
+## 总结
+
+这张图的内容是关于如何通过积分定义的内积，构造一组在虚轴正交归一化的基函数。具体步骤包括：
+
+1. 给出正交归一化条件和内积定义。
+2. 构造第一个基函数并归一化。
+3. 构造第二个基函数，要求其与第一个正交，并归一化。
+
+这些步骤可用于生成一组满足特定正交归一化条件的函数，常见于信号处理、系统理论或数学物理领域的谱基函数构造。