test: 通过了正交基函数的生成和归一化以及正交性验证
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docs/内积与基函数正交归一化的定义.md
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@@ -0,0 +1,88 @@
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### 1. 正交归一化条件
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首先给出了一组基函数 \(\phi_m(s)\)，要求它们满足正交归一化条件：
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\[
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\langle \phi_m(s), \phi_n(s) \rangle = \delta_{mn} \tag{27}
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\]
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其中 \(\delta_{mn}\) 是克罗内克δ，表示当 \(m = n\) 时为1，否则为0。
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### 2. 内积定义
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内积被定义为：
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\[
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\langle \phi_m(s), \phi_n(s) \rangle = \frac{1}{2\pi i} \int_{i\mathbb{R}} \phi_m(s) \phi_n^*(s) ds \tag{28}
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\]
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这里积分是在虚轴上，\(\phi_n^*(s)\) 表示复共轭。
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### 3. 构造第一个基函数 \(\phi_1(s)\)
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首先考虑第一个基函数的归一化：
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\[
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\langle \phi_1(s), \phi_1(s) \rangle
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= \frac{1}{2\pi i} \int_{i\mathbb{R}} \left| \gamma_1 \right|^2 \frac{1}{(s+a_1)(-s+a_1^*)} ds \tag{29, 30}
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\]
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经过计算，归一化条件变为：
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\[
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= \frac{|\gamma_1|^2}{a_1 + a_1^*} \tag{31}
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\]
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要使其归一化，设 \(Q_1(s) = \gamma_1\)，则 \(\gamma_1\) 必须满足：
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\[
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\gamma_1 = \kappa_1 \sqrt{2 \Re(a_1)}
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\]
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其中 \(\kappa_1\) 是任意单位模复数（即模为1的复数），最后得到：
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\[
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\phi_1(s) = \kappa_1 \sqrt{2\Re(a_1)} \frac{1}{s + a_1} \tag{32}
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\]
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### 4. 构造第二个基函数 \(\phi_2(s)\)
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第二个基函数需要与第一个正交：
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\[
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\langle \phi_1(s), \phi_2(s) \rangle = \frac{1}{2\pi i} \int_{i\mathbb{R}} \phi_1(s) \phi_2^*(s) ds = 0 \tag{33}
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\]
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推导得 \(\phi_2^*(s)\) 在 \(s = -a_1\) 时为零，因此：
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\[
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Q_2(s) = \gamma_2 (s - a_1^*)
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\]
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### 5. 第二个函数的归一化
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通过归一化条件确定 \(\gamma_2\)：
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\[
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\langle \phi_2(s), \phi_2(s) \rangle = \frac{1}{2\pi i} \int_{i\mathbb{R}} \frac{|\gamma_2|^2}{(s + a_2)(-s + a_2^*)} ds = \frac{|\gamma_2|^2}{a_2 + a_2^*} \tag{34, 35}
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\]
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## 总结
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这张图的内容是关于如何通过积分定义的内积，构造一组在虚轴正交归一化的基函数。具体步骤包括：
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1. 给出正交归一化条件和内积定义。
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2. 构造第一个基函数并归一化。
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3. 构造第二个基函数，要求其与第一个正交，并归一化。
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这些步骤可用于生成一组满足特定正交归一化条件的函数，常见于信号处理、系统理论或数学物理领域的谱基函数构造。
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@@ -1,37 +1,46 @@
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import numpy as np
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class PhiBasisIterator:
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"""
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逐步生成有理正交 (类 Muntz-Laguerre) 基函数 φ_p(s) / (或复对产生两列) 的迭代器。
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# ------------------------------------------------------------
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# 按论文公式 (9)(10)(11) 生成 Muntz–Laguerre 正交有理基 (解析形式)：
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#
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# 给定稳定极点集合 {p_k} (Re(p_k)<0)。论文记法中使用 -a_k，其中 Re(a_k)>0。
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# 对应关系：p_k = -a_k ⇒ a_k = -p_k, Re(a_k)= -Re(p_k) >0
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#
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# 连续内积意义下（沿 jω 轴积分）这些 φ_k 解析正交。离散频率采样后数值上
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# 可能偏离，可再用加权 QR 做数值再正交（可选）。
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#
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# 公式在“稳定极点 p 表达”下的改写：
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# (原) 实极点: φ_p(s) = sqrt(2 Re(a_p)) / (s + a_p) * Π (s - a_i^*)/(s + a_i)
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# 变换 a_p = -p ⇒ Re(a_p)= -Re(p) = σ >0 且 (s + a_p) = (s - p)
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# 且乘积 (s - a_i^*)/(s + a_i) = (s + p_i^*)/(s - p_i)
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# ⇒ φ_p(s) = sqrt(-2 Re(p)) / (s - p) * Π_{i<p} (s + p_i^*)/(s - p_i)
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#
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# 复对 (p, p*)，取 imag(p)>0 的 p 作为首：
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# (原) φ_p = sqrt(2 Re(a_p)) (s - |a_p|)/[(s + a_p)(s + a_p^*)] * Π(...)
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# (原) φ_{p+1}= sqrt(2 Re(a_p)) (s + |a_p|)/[(s + a_p)(s + a_p^*)] * Π(...)
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# 代入 a_p=-p：
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# Re(a_p)= -Re(p)=σ>0, (s + a_p) = (s - p), (s + a_p^*)=(s - p^*)
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# |a_p| = |p|
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# 乘积同上 ⇒ Π_{i<p} (s + p_i^*)/(s - p_i)
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#
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# ⇒ φ_p(s) = sqrt(-2 Re(p)) (s - |p|)/[(s - p)(s - p^*)] * Π_{i<p} (s + p_i^*)/(s - p_i)
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# φ_{p^*}(s)= sqrt(-2 Re(p)) (s + |p|)/[(s - p)(s - p^*)] * Π_{i<p} (s + p_i^*)/(s - p_i)
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#
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# product 递推维护：prod_k = Π_{i≤k} (s + p_i^*)/(s - p_i)
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# 对复对要顺序乘两次（p 与 p*）。
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# ------------------------------------------------------------
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给定:
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s: 标量或数组 (复频率采样点) s = j*2*pi*f
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poles: 极点序列 (允许包含复共轭对). 约定:
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- 纯实极点按自身顺序出现: a = -alpha (alpha>0)
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- 复极点以正虚部在前, 紧跟其共轭: a = -σ + jω, a* = -σ - jω
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迭代:
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每次 __next__ 返回一个 list:
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- 实极点 -> [φ_p(s)]
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- 复成对 -> [φ_p^(1)(s), φ_p^(2)(s)]
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使用时可把返回列表中函数 append 到总基函数数组中。
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说明:
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这里实现的公式与用户原始代码意图相同, 但修正了:
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1) 原代码 sqrt(2*Re(a)) 在 Re(a)<0 (典型稳定极点) 下产生 NaN, 改为 alpha=-Re(a) >0.
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2) 原来在 __next__ 中使用 yield (非法); 改为标准迭代协议返回 list。
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3) 复极点的乘积与后续迭代用的累计乘积 product 分开维护。
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若需严格匹配论文中“多变量正交化”可再加数值正交 (QR) 步骤。
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注意:
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本实现假设 poles 已排序; 若不确定, 可预处理把正虚部极点放在其共轭之前。
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"""
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def __init__(self, s, poles):
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self.s = np.asarray(s, dtype=complex) # (Nf,) 或标量
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self.poles = list(poles)
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self.k = 0 # 当前处理到第 k 个极点(或复对的首元素)
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class MuntzLaguerreIterator:
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def __init__(self, s: np.ndarray, stable_poles: list | np.ndarray):
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"""
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s: 复频率数组 (Nf,), s = j 2π f
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||||
stable_poles: 稳定极点列表 (Re<0). 复共轭对要求正虚部在前 (p, p*).
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"""
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self.s = np.asarray(s, dtype=complex)
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self.poles = list(stable_poles)
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self.N = len(self.poles)
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# 累计乘积 Π_{已完成的块} ( (s - a_i*)/(s + a_i) ) (复对时使用 (s - a)(s - a*) / (s + a)(s + a*))
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self.k = 0
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# 初始化乘积 Π_{i<p} (s + p_i^*)/(s - p_i)
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self.product = np.ones_like(self.s, dtype=complex)
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def __iter__(self):
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@@ -41,85 +50,153 @@ class PhiBasisIterator:
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if self.k >= self.N:
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raise StopIteration
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a = self.poles[self.k]
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p = self.poles[self.k]
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if np.real(p) >= 0:
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raise ValueError(f"极点必须在左半平面: {p}")
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# 复对: 需要检查正虚部并且下一个是共轭
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if np.iscomplex(a) and np.imag(a) > 0:
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if self.k + 1 >= self.N or not np.isclose(self.poles[self.k + 1], np.conj(a)):
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raise ValueError(f"极点序列中复极点 {a} 未紧跟其共轭, 请排序.")
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a_conj = self.poles[self.k + 1]
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sigma = -np.real(a) # >0
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alpha = sigma
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# (s + a)(s + a*) = (s + a)(s + conj(a))
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denom = (self.s + a) * (self.s + a_conj)
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# |a| 用于生成两组分子 (参考原代码的构造方式)
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r = np.abs(a)
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scale = np.sqrt(2 * alpha)
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# 复对首 (正虚部)
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if np.iscomplex(p) and np.imag(p) > 0:
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if self.k + 1 >= self.N:
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raise ValueError("复极点缺少共轭")
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pc = self.poles[self.k + 1]
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if not np.isclose(pc, np.conj(p)):
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raise ValueError("复极点未按 (p, p*) 顺序排列 (正虚部在前)")
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sigma = -np.real(p) # >0
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scale = np.sqrt(2 * sigma)
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r = np.abs(p)
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denom = (self.s - p) * (self.s - pc)
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numerator1 = scale * (self.s - r)
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numerator2 = scale * (self.s + r)
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# 两个基函数
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phi_p = scale * (self.s - r) / denom * self.product
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phi_pc = scale * (self.s + r) / denom * self.product
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phi1 = numerator1 / denom * self.product
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phi2 = numerator2 / denom * self.product
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# 更新累计乘积用于后续阶次：
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# 对复对的“整体”传统一致写成 ((s - a)(s - a*) / (s + a)(s + a*))
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self.product = self.product * ((self.s - a) * (self.s - a_conj)) / denom
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# product 先乘 (s + p^*)/(s - p)，再乘 (s + p)/(s - p^*)
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self.product = self.product * (self.s + pc) / (self.s - p)
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||||
self.product = self.product * (self.s + p) / (self.s - pc)
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self.k += 2
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return [phi1, phi2]
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return [phi_p, phi_pc]
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else:
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# 实极点 (允许传入 float 或实部为负的 complex(实数))
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a_real = np.real(a)
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# 稳定极点: a_real < 0, 令 alpha = -a_real > 0
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if a_real >= 0:
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raise ValueError(f"实极点需要在左半平面 (负实部), 得到 {a_real}")
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alpha = -a_real
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scale = np.sqrt(2 * alpha)
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# Laguerre 风格: (s - alpha)/(s + alpha)
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numerator = scale * (self.s - alpha)
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denom = (self.s + alpha)
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phi = numerator / denom * self.product
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# 更新累计乘积
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self.product = self.product * (self.s - alpha) / (self.s + alpha)
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self.k += 1
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return [phi]
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||||
# 复对次 (负虚部) —— 应该被首元素处理，出现表示顺序错误
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if np.iscomplex(p) and np.imag(p) < 0:
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raise ValueError("检测到负虚部复极点但其共轭尚未处理，请将正虚部成员放在前面。")
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# ------------------ 辅助函数: 批量生成全部基函数 ------------------
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def generate_phi_basis(s, poles):
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||||
# 实极点
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sigma = -np.real(p)
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||||
if sigma <= 0:
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raise ValueError("实极点实部应为负 (稳定)。")
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||||
scale = np.sqrt(2 * sigma)
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||||
phi = scale / (self.s - p) * self.product
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||||
# 更新乘积
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||||
self.product = self.product * (self.s + p) / (self.s - p)
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||||
|
||||
self.k += 1
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||||
return [phi]
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||||
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||||
def generate_muntz_laguerre_basis(s: np.ndarray, stable_poles: list | np.ndarray):
|
||||
"""
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||||
返回一个 list, 其中包含依次生成的所有基函数 (按 real → 1 函数, complex pair → 2 函数).
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||||
生成完整基函数列表: [φ_0=1, φ_1, φ_2, ...]
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||||
"""
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basis = []
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||||
it = PhiBasisIterator(s, poles)
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||||
for block in it:
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basis = [np.ones_like(s, dtype=complex)]
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||||
for block in MuntzLaguerreIterator(s, stable_poles):
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basis.extend(block)
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return basis
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||||
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# ------------------ 示例与自测 ------------------
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# ---------- 可选：离散再正交 (加权 QR) ----------
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# def trapezoid_weights(freqs: np.ndarray):
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||||
# if len(freqs) == 1:
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# return np.ones(1)
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||||
# df = np.diff(freqs)
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||||
# w = np.zeros_like(freqs, dtype=float)
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# w[0] = 0.5 * df[0]
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||||
# w[-1] = 0.5 * df[-1]
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||||
# if len(freqs) > 2:
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||||
# w[1:-1] = 0.5 * (df[:-1] + df[1:])
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||||
# return w
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||||
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||||
def weighted_qr_from_basis(basis_cols: list[np.ndarray], weights: np.ndarray | None = None):
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||||
A = np.column_stack(basis_cols) # (Nf, M)
|
||||
if weights is None:
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||||
sw = np.ones(A.shape[0])
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else:
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||||
sw = np.sqrt(weights.real)
|
||||
Aw = sw[:, None] * A
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||||
Qw, R = np.linalg.qr(Aw)
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||||
Phi = Qw / (sw[:, None] + 1e-30)
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||||
return Phi, R # Raw = Phi R
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||||
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||||
def check_discrete_orthogonality(Phi: np.ndarray, w: np.ndarray):
|
||||
G = Phi.conj().T @ (w[:, None] * Phi)
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||||
off = np.max(np.abs(G - np.eye(G.shape[0])))
|
||||
return G, off
|
||||
|
||||
def verify_orthonormal(Phi: np.ndarray, w: np.ndarray, atol=1e-10, rtol=1e-8):
|
||||
"""
|
||||
返回:
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||||
G : Gram 矩阵 (Φ^H W Φ)
|
||||
max_off : 最大非对角幅值
|
||||
diag_err : max |diag(G)-1|
|
||||
passed : 是否满足阈值
|
||||
"""
|
||||
G = Phi.conj().T @ (w[:, None] * Phi)
|
||||
I = np.eye(G.shape[0])
|
||||
diag_err = np.max(np.abs(np.diag(G) - 1.0))
|
||||
max_off = np.max(np.abs(G - I + np.diag(np.diag(G) - 1.0)))
|
||||
passed = (diag_err <= atol) and (max_off <= rtol)
|
||||
return G, max_off, diag_err, passed
|
||||
|
||||
def omega_weights(freqs_hz: np.ndarray):
|
||||
"""
|
||||
基于 ω=2πf 的梯形法得到 w_ω = Δω/(2π)，使得
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||||
(1/2π) ∫_{-∞}^{∞} → Σ w_ω,k
|
||||
"""
|
||||
f = freqs_hz
|
||||
if len(f) == 1:
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||||
return np.ones(1)
|
||||
df = np.diff(f)
|
||||
w_f = np.zeros_like(f)
|
||||
w_f[0] = 0.5 * df[0]
|
||||
w_f[-1] = 0.5 * df[-1]
|
||||
if len(f) > 2:
|
||||
w_f[1:-1] = 0.5 * (df[:-1] + df[1:])
|
||||
# dω = 2π df, (1/2π) * dω = df ⇒ 直接 w_f 就是 w_ω
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||||
return w_f # 已等价于 Δω/(2π)
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||||
|
||||
# ------------------ 示例 ------------------
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||||
if __name__ == "__main__":
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||||
# 示例极点: 1 个实极点 (-1), 一个复对 (-2+0.5j, -2-0.5j), 再一个复对 (-3+1.2j, -3-1.2j)
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||||
poles = [-0.005+500j, -0.005-500j, -0.012+1200j, -0.012-1200j]
|
||||
f = np.linspace(1e9, 1e11, 200) # 频率 (Hz)
|
||||
s = 1j * 2 * np.pi * f
|
||||
# 示例稳定极点 (复对正虚部在前)
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||||
stable_poles = [
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||||
-0.8e9,
|
||||
-1.0e9 + 2.5e9j,
|
||||
-1.0e9 - 2.5e9j,
|
||||
-2.2e9
|
||||
]
|
||||
freqs = np.linspace(1e8, 8e9, 400)
|
||||
s = 1j * 2 * np.pi * freqs
|
||||
|
||||
basis_funcs = generate_phi_basis(s, poles)
|
||||
print(f"生成基函数数量 = {len(basis_funcs)}") # 实极点 1 →1, 两个复对 →2+2 共 5 个
|
||||
# 简单数值检查 (避免 NaN/Inf)
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||||
for i, bf in enumerate(basis_funcs):
|
||||
if not np.all(np.isfinite(bf)):
|
||||
print(f"第 {i} 个基函数存在非有限值")
|
||||
else:
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||||
# print(f"phi[{i}] max|.|={np.max(np.abs(bf)):.3e}, min|.|={np.min(np.abs(bf)):.3e}")
|
||||
print(f"phi[{i}] = {bf}")
|
||||
basis = generate_muntz_laguerre_basis(s, stable_poles)
|
||||
print("解析基函数数量 =", len(basis))
|
||||
print("前5个基函数示例 (每个前10个频点):")
|
||||
for i in range(5):
|
||||
print(f"φ_{i}:", basis[i][:10])
|
||||
|
||||
# 验证是否为正交基
|
||||
for i, bf in enumerate(basis_funcs):
|
||||
print(f"phi[{i}]*phi[{i}] = {np.vdot(bf, bf)}") # 自身内积
|
||||
for j in range(i+1, len(basis_funcs)):
|
||||
bf2 = basis_funcs[j]
|
||||
ip = np.vdot(bf, bf2)
|
||||
print(f"phi[{i}] 与 phi[{j}] 内积 = {ip}")
|
||||
if np.abs(ip) > 1e-6:
|
||||
print(f"phi[{i}] 与 phi[{j}] 非正交, 内积={ip}")
|
||||
w = omega_weights(freqs)
|
||||
Phi_num, R = weighted_qr_from_basis(basis, w)
|
||||
Gram, off = check_discrete_orthogonality(Phi_num, w)
|
||||
print("离散 Gram 最大非对角元素 =", off)
|
||||
print("R 形状:", R.shape)
|
||||
# 验证 Raw ≈ Phi R
|
||||
raw = np.column_stack(basis)
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err = np.max(np.abs(raw - Phi_num @ R))
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print("重构误差 ||Raw - Phi R||_∞ =", err)
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# 验证正交性
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print("离散 Gram 矩阵 (前5x5):")
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print(Gram[:5, :5])
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Gcheck, max_off, diag_err, ok = verify_orthonormal(Phi_num, w)
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print(f"Diag 误差={diag_err:.3e}, Max off={max_off:.3e}, Orthonormal={ok}")
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# 额外: 验证 R
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# raw = Φ R => R ≈ Φ^H W raw (因为 Φ^H W Φ = I)
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R_alt = Phi_num.conj().T @ (w[:,None] * raw)
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print("R 差异 ||R - R_alt||_max =", np.max(np.abs(R - R_alt)))
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