65 lines
2.5 KiB
Markdown
65 lines
2.5 KiB
Markdown
下面把“极点识别→一对一配对”作为线性指派问题的优化目标，用公式列出（含常用代价设计与未匹配处理）。
|
||
|
||
记号
|
||
- 集合 A（参考/上一时刻/阶次 k）：第 i 个模式的频率、阻尼、振型为 $f_i, ζ_i, φ_i$
|
||
- 集合 B（估计/下一时刻/阶次 k+1）：第 j 个模式为 $f'_j, ζ'_j, φ'_j$
|
||
- 模态相似度 MAC:
|
||
$$
|
||
\mathrm{MAC}(\phi_i,\phi'_j)=\frac{\bigl|\phi_i^{H}\phi'_j\bigr|^2}{(\phi_i^{H}\phi_i)\,(\phi'_j{}^{H}\phi'_j)}\in[0,1]
|
||
$$
|
||
|
||
一、配对代价 C_ij 的常用设计
|
||
- 加权和（绝对差版本）：
|
||
$$
|
||
C_{ij} = w_f\frac{|f_i-f'_j|}{f_{\mathrm{scale}}} + w_\zeta\,|\,\zeta_i-\zeta'_j\,|+ w_{\mathrm{mac}}\bigl(1-\mathrm{MAC}_{ij}\bigr)
|
||
$$
|
||
- 或加权平方差版本：
|
||
$$
|
||
C_{ij}= w_f\Bigl(\frac{f_i-f'_j}{f_{\mathrm{scale}}}\Bigr)^2+ w_\zeta\bigl(\zeta_i-\zeta'_j\bigr)^2+ w_{\mathrm{mac}}\bigl(1-\mathrm{MAC}_{ij}\bigr)^2
|
||
$$
|
||
- 门控（Big-M 罚）：
|
||
$$
|
||
C_{ij}\;:=\;
|
||
\begin{cases}
|
||
C_{ij}, & \frac{|f_i-f'_j|}{f_{\mathrm{scale}}}\le\tau_f,\;\;|\,\zeta_i-\zeta'_j\,|\le\tau_\zeta,\;\;\mathrm{MAC}_{ij}\ge\tau_{\mathrm{mac}}\\[4pt]
|
||
M, & \text{否则}
|
||
\end{cases}
|
||
\qquad(M\text{ 很大})
|
||
$$
|
||
|
||
二、允许“未匹配”的指派目标（显式未匹配变量）
|
||
令决策变量 x_{ij}\in\{0,1\} 表示 i 是否配给 j；u_i,v_j 表示未匹配。
|
||
$$
|
||
\min_{x,u,v}\;
|
||
\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} C_{ij}\,x_{ij}
|
||
+\tau_A\sum_{i=1}^{m} u_i
|
||
+\tau_B\sum_{j=1}^{n} v_j
|
||
$$
|
||
约束：
|
||
$$
|
||
\sum_{j=1}^{n} x_{ij}+u_i=1,\;\; \forall i=1,\dots,m
|
||
\qquad
|
||
\sum_{i=1}^{m} x_{ij}+v_j=1,\;\; \forall j=1,\dots,n
|
||
$$
|
||
$$
|
||
x_{ij}\in\{0,1\},\;\;u_i\in\{0,1\},\;\;v_j\in\{0,1\}
|
||
$$
|
||
|
||
三、允许“未匹配”的等价“补方阵”形式（虚拟结点）
|
||
取 L=\max(m,n)，把代价矩阵补成
|
||
$\tilde C\in\mathbb{R}^{L\times L}$，对虚拟匹配赋常数代价 $C_{\mathrm{unmatch}}$，解标准 LSAP：
|
||
$$
|
||
\min_{X\in\{0,1\}^{L\times L}}\;\langle \tilde C, X\rangle
|
||
\quad\text{s.t.}\quad
|
||
X\mathbf{1}=\mathbf{1},\;\; \mathbf{1}^\top X=\mathbf{1}^\top
|
||
$$
|
||
其中 X 为置换矩阵；落在补齐的虚拟行/列上即表示“未匹配”，其代价由 $C_{\mathrm{unmatch}}$ 决定。
|
||
|
||
四、最大化相似度的等价形式
|
||
若用相似度矩阵 $S_{ij}$（如 $S_{ij}= \alpha_{\mathrm{mac}}\mathrm{MAC}_{ij}-\alpha_f\frac{|f_i-f'_j|}{f_{\mathrm{scale}}}-\alpha_\zeta|\,\zeta_i-\zeta'_j\,|$），则：
|
||
$$
|
||
\max_{X}\;\sum_{ij} S_{ij} X_{ij}
|
||
\quad\Longleftrightarrow\quad
|
||
\min_{X}\;\sum_{ij} (-S_{ij}) X_{ij}
|
||
$$
|
||
并沿用上面的指派约束与“未匹配”处理。 |