2.5 KiB
2.5 KiB
下面把“极点识别→一对一配对”作为线性指派问题的优化目标，用公式列出（含常用代价设计与未匹配处理）。
记号
- 集合 A（参考/上一时刻/阶次 k）：第 i 个模式的频率、阻尼、振型为
f_i, ζ_i, φ_i - 集合 B（估计/下一时刻/阶次 k+1）：第 j 个模式为
f'_j, ζ'_j, φ'_j - 模态相似度 MAC:
\mathrm{MAC}(\phi_i,\phi'_j)=\frac{\bigl|\phi_i^{H}\phi'_j\bigr|^2}{(\phi_i^{H}\phi_i)\,(\phi'_j{}^{H}\phi'_j)}\in[0,1]
一、配对代价 C_ij 的常用设计
- 加权和（绝对差版本）：
C_{ij} = w_f\frac{|f_i-f'_j|}{f_{\mathrm{scale}}} + w_\zeta\,|\,\zeta_i-\zeta'_j\,|+ w_{\mathrm{mac}}\bigl(1-\mathrm{MAC}_{ij}\bigr)
- 或加权平方差版本：
C_{ij}= w_f\Bigl(\frac{f_i-f'_j}{f_{\mathrm{scale}}}\Bigr)^2+ w_\zeta\bigl(\zeta_i-\zeta'_j\bigr)^2+ w_{\mathrm{mac}}\bigl(1-\mathrm{MAC}_{ij}\bigr)^2
- 门控（Big-M 罚）：
C_{ij}\;:=\;
\begin{cases}
C_{ij}, & \frac{|f_i-f'_j|}{f_{\mathrm{scale}}}\le\tau_f,\;\;|\,\zeta_i-\zeta'_j\,|\le\tau_\zeta,\;\;\mathrm{MAC}_{ij}\ge\tau_{\mathrm{mac}}\\[4pt]
M, & \text{否则}
\end{cases}
\qquad(M\text{ 很大})
二、允许“未匹配”的指派目标（显式未匹配变量） 令决策变量 x_{ij}\in{0,1} 表示 i 是否配给 j；u_i,v_j 表示未匹配。
\min_{x,u,v}\;
\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} C_{ij}\,x_{ij}
+\tau_A\sum_{i=1}^{m} u_i
+\tau_B\sum_{j=1}^{n} v_j
约束：
\sum_{j=1}^{n} x_{ij}+u_i=1,\;\; \forall i=1,\dots,m
\qquad
\sum_{i=1}^{m} x_{ij}+v_j=1,\;\; \forall j=1,\dots,n
x_{ij}\in\{0,1\},\;\;u_i\in\{0,1\},\;\;v_j\in\{0,1\}
三、允许“未匹配”的等价“补方阵”形式（虚拟结点） 取 L=\max(m,n)，把代价矩阵补成 $\tilde C\in\mathbb{R}^{L\times L}$，对虚拟匹配赋常数代价 $C_{\mathrm{unmatch}}$，解标准 LSAP：
\min_{X\in\{0,1\}^{L\times L}}\;\langle \tilde C, X\rangle
\quad\text{s.t.}\quad
X\mathbf{1}=\mathbf{1},\;\; \mathbf{1}^\top X=\mathbf{1}^\top
其中 X 为置换矩阵；落在补齐的虚拟行/列上即表示“未匹配”，其代价由 C_{\mathrm{unmatch}} 决定。
四、最大化相似度的等价形式 若用相似度矩阵 $S_{ij}$（如 $S_{ij}= \alpha_{\mathrm{mac}}\mathrm{MAC}{ij}-\alpha_f\frac{|f_i-f'j|}{f{\mathrm{scale}}}-\alpha\zeta|,\zeta_i-\zeta'_j,|$），则：
\max_{X}\;\sum_{ij} S_{ij} X_{ij}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\min_{X}\;\sum_{ij} (-S_{ij}) X_{ij}
并沿用上面的指派约束与“未匹配”处理。